De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Logaritmische ongelijkheid oplossen

f(x) is integraal van x tot oneind. e tot de macht -t gedeeld door t dt. Bewijs x maal f(x) is groter dan 0 en kleiner dan e tot de macht - x. Ik heb e tot de macht -1 naar de noemer gebracht en e tot de t-de in een reeks ontwikkeld. Daarna gesteld dat xf(x) zeker kleiner is dan integraal x tot oneindig van dt gedeeld door t( 1 +t ), immers de noemer wordt kleiner. Na breuksplitsing krijg ik uiteindelijk x maal ln ( 1+x) - ln x en tenslotte ln( 1+ 1 gedeeld dood x ) tot de macht x. Voor 0 tot 1 is dit kleiner dan e tot de macht - 1 maar voor x groter dan 1 niet. Is mijn redenering fout of hoe kom ik op het goede antwoord. Bij de opl. staat alleen stel t = xu .

Antwoord

De redenering is niet fout; de ongelijkheid $\frac1{te^t}$<$\frac1{t(1+t)}$ klopt maar, zoals U gezien hebt: deze ongelijkheid geeft ons niet genoeg, voor grote $x$ is $x\ln(1+\frac1x)$ ongeveer gelijk aan $1$.
Als je $t=xu$ substitueert komt er
$$
f(x)=\int_1^\infty\frac{e^{-xu}}u\,du
$$
en die integraal is kleiner dan of gelijk aan
$$
\int_1^\infty e^{-xu}\,du
$$
Overigens is de substitutie niet nodig, immers, als $t\ge x$ dan $\frac xt\le1$, en dus
$$
xf(x)=\int_x^\infty \frac xt e^{-t}\,dt \le \int_x^\infty e^{-t}\,dt
$$

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Logaritmen
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024